概率论和统计学

基本概率分布

1. 二项分布

二项分布描述了在 n 次独立试验中成功的次数，每次试验只有两种可能结果：成功（概率为 p）或失败（概率为 1−p）。二项分布的概率质量函数（PMF）为：

注1：

概率质量函数（Probability Mass Function，PMF）是离散随机变量在每个可能取值处的概率分布。它为每一个可能的取值分配一个概率，确保这些概率的总和为 1。PMF 用于描述离散随机变量的分布情况。

定义

设 X 是一个离散随机变量，其可能取值为 x1,x2,x3,…。概率质量函数 P(X=xi)定义为： P(X=xi)=pi 其中，pi 是 X 取值为 xi​ 的概率。PMF 满足以下两个条件：

0≤pi≤1 对所有可能的 xi。

∑ipi=1

注2：

2.泊松分布

泊松分布用于描述在固定时间段或空间内事件发生的次数，其平均发生率为 λ。泊松分布的概率质量函数为：

举例：7点到11点我上2次厕所的概率，过往7天的数据分别是：1,2,1,2,3,1,2， λ = (1+2+1+2+3+1+2)/7=12/7, 所以k=2, λ = 12/7, 代入上述公司求概率。

注：泊松分布中的平均发生率（通常表示为 λ）是一个重要参数，表示在特定时间段或空间内事件发生的平均次数。得到 λ 的方法通常依赖于对历史数据的观察和统计分析。